Mag. Alvaro Acosta Agón
 

Video: TABLAS DE FRECUENCIAS – Datos agrupados y No agrupados                           


Video: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: Media, Mediana y Moda                             


Video: MEDIDAS DE POSICIÓN: Cuartiles, Deciles y Centiles               


Video:  CALCULAR CUARTILES                       


Video: MEDIDAS DE DISPERSIÓN: Desviación media, varianza, desviación estándar y coeficiente de variabilidad                      


 

1.1 DEFINICIÓN


Los orígenes de la estadística están asociados al conteo de personas, riquezas y productos de una colectividad.

En la actualidad, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos.

Definir la estadística es una tarea difícil pues habría que precisar en cada una de las técnicas que se emplean en los diferentes campos en los que interviene. Sin embargo, en forma general, se dan algunas definiciones.

La Estadística es una rama de las matemáticas que se encarga de los métodos y procedimientos para recopilar, organizar, resumir, hallar regularidades, analizar y procesar datos con el propósito de inferir las características de la población objeto de estudio, con la finalidad de tomar decisiones y formular predicciones, con base en los resultados.

La estadística es una herramienta imprescindible de todas las ciencias, y no se trata de discutir si es una ciencia, una técnica o una herramienta, sino de la utilización de sus métodos en provecho del desarrollo del conocimiento.

1.2 DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA



En resumen, la Estadística Descriptiva es cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, y la Estadística Inferencial cuando el objetivo del estudio es generalizar a toda una población desde los resultados obtenidos de una muestra de datos.

El DANE informa que Colombia ocupa el puesto 28 del ranking de 196 estados con un número de habitantes significativos. La población en los últimos cinco años es: 48.203.000 en 2015, 48.748.000 en 2016, 49.292.000 en 2017, 49.834.000 en 2018 y 50.374.000 en 2019. (ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA). 

Una encuesta mostró que sólo el 46% de los estudiantes de undécimo grado podían resolver problemas que incluyeran fraccionarios, decimales y porcentajes. Además, sólo el 77% de los estudiantes de undécimo grado pudo sumar correctamente el costo de hamburguesas, papas fritas y gaseosas, que figuraban en el menú de un restaurante. (ESTADÍSTICA INFERENCIAL)


Contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Dónde en nuestras vidas encontramos las estadísticas? 
2. ¿Cómo me pueden afectar? 
3. ¿Cómo puedo interactuar con ella? 
4. ¿Cómo se utilizan en el área que estudio?

1.3 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

· POBLACIÓN: Es el conjunto formado por un grupo de individuos o elementos, bien definidos, sobre los cuales se pretende estudiar alguna característica.

TIPOS DE POBLACIÓN:

POBLACIÓN FINITA: Es aquella que indica que es posible alcanzarse o sobrepasarse al contar. Posee o incluye un número limitado de medidas y observaciones. 

POBLACIÓN INFINITA: Es infinita si se incluye un gran conjunto de medidas y observaciones que no pueden alcanzarse en el conteo. Son poblaciones infinitas porque hipotéticamente no existe límite en cuanto al número de observaciones que cada uno de ellos puede generar. 

· MARCO MUESTRAL: Es el mecanismo o material que permite delimitar o identificar en forma apropiada los elementos de una población.

Ejemplo de lista de unidades o los elementos del muestreo:

En la primera etapa se realiza la estratificación de las manzanas a nivel de localidad y grupo socioeconómico.

La segunda etapa consiste en la selección de las viviendas enlistadas al interior de cada manzana por medio de un muestreo aleatorio. 

· MUESTRA: Es una parte o subconjunto representativo de la población que se selecciona del marco muestral para obtener información.

En la estadística se recogen datos de una muestra. Se utiliza esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia, muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo. 

La muestra puede ser aleatoria, tomada al azar y sin la intervención de las personas encargadas de la investigación.  Si una muestra es representativa de una población se pueden sacar conclusiones importantes acerca de esta población. Sin embargo, es importante notar que la muestra debe ser aleatoria, porque de otra manera, la inferencia acerca de la población será inválida.
· MUESTREO ALEATORIO o PROBABILÍSTICO: En una muestra seleccionada por muestreo aleatorio todos los elementos de la muestra tienen la misma posibilidad de ser escogidos.

ALEATORIO SIMPLE: Le da la posibilidad a cada uno de los miembros de una población a ser elegidos, si no se cumple este requisito, se dice que la muestra es viciada. Es uno de los más empleados y recomendado en las investigaciones sociales y educacionales, ya que permite obtener conclusiones en la muestra e inferir lo que pudiera ocurrir, a partir de ésta, en la población, con un elevado grado de pertinencia.

Ejemplo: Para poder elegir 10 estudiantes de un salón, aleatoriamente se numeran y se someten al procedimiento.

En un recipiente se colocan en pedazos de papel los nombres de los estudiantes y se revuelven, de ahí, la primera tira seleccionada determina el primer estudiante elegido, no se regresa al recipiente y después de revolver otra vez se selecciona el segundo estudiante que determina el segundo elegido; el proceso continúa hasta obtener los diez que se desean elegir.

ALEATORIO SISTEMÁTICO: Se hace una lista de la población a intervalos fijos, bien sea tomando el coeficiente de elevación (ce) como punto de partida; donde:

Si la población P = 100 elementos y la muestra n= 20, entonces:
Indica que cada vez que se produzcan piezas en múltiplos de 5, será seleccionada una para la realización de determinada medición, etc. elementos u objetos producidos (si se tratara de un proceso de producción de piezas).

Ejemplo: Para obtener una muestra de suscriptores telefónicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los números de las páginas del directorio telefónico; luego se elige un valor para la muestra. Se realiza el cociente entre estos dos datos y de acuerdo a este resultado se toman las páginas que correspondan a los múltiplos del número obtenido. 

ALEATORIO ESTRATIFICADO: Consiste en la división previa de la población de estudio en grupos o clases que se suponen homogéneos con respecto a alguna característica de las que se van a estudiar. A cada uno de estos estratos se le asignaría una cuota que determinaría el número de miembros del mismo que compondrán la muestra. Dentro de cada estrato se suele usar la técnica de muestreo sistemático, una de las técnicas de selección más usadas en la práctica.

En un estudio de las características socioeconómicas de una ciudad los estratos pueden ser los barrios de la misma, ya que los barrios suelen presentar características diferenciales.

Ejemplo: para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar por separado las opiniones de hombres y mujeres.

Se quiere obtener una muestra de las opiniones de los docentes de una universidad. Puede ser difícil obtener una muestra con todos los profesores, así que se elige una muestra aleatoria de cada escuela, o departamento académico; los estratos serían las escuelas, o departamentos académicos.

ALEATORIO CONGLOMERADOSLa población está subdividida por subpoblaciones o conglomerados, que son parecidos entre sí. La selección es al azar: (Estudiantes del mismo curso, familias nucleares, etc).


· MUESTREO NO ALEATORIO: Es una muestra seleccionada por muestreo de juicio que se basa en la experiencia de alguien con la población.

MUESTREO POR ACCIDENTE: Lo que es conveniente para el investigador, este método incluye los casos más convenientes en su muestra y excluye de ella los casos inconvenientes.

Se trata de un proceso en el que el investigador selecciona directa e intencionadamente los individuos de la población. El caso más frecuente de este procedimiento es utilizar como muestra los individuos a los que se tienen fácil acceso.

MUESTREO INTENCIONAL o JUICIO: El muestreo intencional es un procedimiento que permite seleccionar los casos característicos de la población. La lógica y el sentido común pueden usarse para seleccionar la muestra que sea representativa de la población.

Es muy frecuente su utilización en sondeos preelectorales de zonas que en anteriores votaciones han marcado tendencias de voto.

MUESTREO POR CUOTAS: Facilitar al entrevistador el perfil de las personas que tiene que entrevistar dejando su criterio, la elección de las mismas, siempre y cuando cumplan con el perfil. Es equivalente a las muestras aleatorias estratificadas.

Consiste en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Barrancabermeja, una vez determinada la cuota, se eligen los primero que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.

·DATOS: Son las observaciones recolectadas: mediciones, géneros o respuestas de encuesta.

TIPOS DE DATOS: 

PARÁMETRO: Es una medición numérica que describe algunas características de una población
El presidente recibió el 50,12% de 18.865.900 votos.

ESTADÍSTICO: Es una medición numérica que describe algunas características de una muestra
En una muestra de 200 personas encuestadas, se encontró que el 45% de ellos no tienen empleo.
La edad promedio registrada en una encuesta a 150 estudiantes es de 16 años.


Tipos de Estadísticos
Centralización
Indican valores con respecto a lo que los datos parecen agruparse.
Media, Mediana y Moda
Posición
Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.
Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles, …
Dispersión
Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.
Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza.
Forma
Dan una idea de cómo se distribuyen los datos.
Asimetría, apuntamiento o curtosis

· VARIABLES ESTADÍSTICAS (o datos): Se refiere a una característica o cualidad de un individuo (personas, animales o cosas) que está propenso a adquirir diferentes valores.

Una variable es una característica que va a ser estudiada en una población. Una variable es estadística si puede ser escrita como una pregunta cuyas respuestas pueden ser tabuladas o clasificadas dentro de determinados rangos.

Las variables estadísticas se construyen de acuerdo con el objetivo del estudio y apuntan a recolectar la información de manera eficaz y efectiva.


Otra forma de clasificación de los datos: Escalas

ESCALA NOMINAL: 
Nombres o Categorías
Género (hombre/mujer); Raza; Estado Civil; Religión.
ESCALA ORDINAL:   
Cuando siguen un orden
Clasificación de una prueba (primero, segundo, tercero); 
Estatus socioeconómico; Calificación del cliente (MS, S, I, MI)
ESCALA o NIVEL DE MEDICIÓN DE INTERVALO:

No tienen un punto de partida inherente, pero la diferencia entre dos valores de datos tiene un significado. (Los años 1000, 1492, 1776, 2000); (98,2°F y 98,6°F).
ESCALA o NIVEL DE MEDICIÓN DE RAZÓN:
Si tiene un punto de partida o cero inherente. (El precio de un texto escolar, $100.000; un libro de $100.000 es cinco veces más costoso que un texto de $20.000).

Resolver las siguientes situaciones

Un fabricante de medicamentos está interesado en la proporción de personas que padecen hipertensión (presión arterial elevada) cuya condición pueda ser controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. Se condujo un estudio en el que participaron 5000 personas que padecen de hipertensión, y se encontró que 80% de las personas pueden controlar su hipertensión con el medicamento. Suponiendo que las cinco mil personas son representativas del grupo con hipertensión, conteste las siguientes preguntas:

  1. Cuál es la población                                c. Cuál es la muestra
  2. Identifique el parámetro de interés          d. Identifique la estadística 
............................................................................................

Clasificar la siguiente lista de variables si son estadísticas o no, y además cuáles son discretas o continuas:

a)    Preferencia por algún deporte
b)    Opinión sobre la situación económica del país
c)    Razones por las cuales apoya a un candidato a la Alcaldía
d)    Personas con quien vive en casa
e)    La infidelidad en Barrancabermeja.
 ............................................................................................


La fábrica de gaseosas La Sed proyecta lanzar al mercado un nuevo sabor. Se realiza un test de aceptación de dicho sabor a 20 niños, utilizando una escala de 10 puntos, para medir el grado de aceptación. Uno de los niños (Juanito) aceptó el nuevo sabor con 7 puntos. Los puntos obtenidos en los 19 niños restantes son los siguientes: 2,6,7,4,5,5,9,8,7,1,8,4,7,7,7,6,5,4.

La muestra estuvo compuesta por igual número de niños de ambos sexos, de 6 a 12 años, pertenecientes a una escuela de Valledupar, los cuales, en su mayoría, dieron una aceptación de 7 puntos.

  1. Cuál es la población                                  c. Cuál es la muestra
  2. Cuál es la variable                                     d. Qué tipo de variable
............................................................................................

Determinar si el valor dado es un estadístico o un parámetro:

a)    El Senado actual de Colombia consta de 76 hombres y 32 mujeres
b) Se selecciona una muestra de estudiantes y el número promedio de textos comprados en este semestre es 0,25
c)   Es un estudio de los 2223 pasajeros del Titanic, se encontró que 706 sobrevivieron cuando se hundió.
d)  Cuando se probaron 19.218 máscaras antigás en el ejército de Estados Unidos, se encontró que 10.322 estaban defectuosas.

 ............................................................................................

Cuál de los cuatro niveles de medición (nominal, ordinal, de intervalo o de razón) es el más apropiado:

a)    Las estaturas de los hombres que juegan basquetbol en la NBA.
b)    Las temperaturas actuales en los salones de clase de la Universidad.
c)    Los números de las camisetas de los hombres que juegan en la Liga Postobón.
d)    Las calificaciones de bueno, regular, fantástico, pobre es citas a ciegas.
e)  El número de respuestas «SI», cuando se les pregunto a 1.250 conductores si alguna vez han hablado por celular mientras manejan.

1.4 PENSAMIENTO CRÍTICO

El pensamiento crítico se refiere a la habilidad consciente, sistemática y deliberada que usa el hombre en la toma de decisiones.

Aprender sin pensar es trabajar en vano”.  Confucio.

Tomado del Texto Estadística, de Mario Triola.

El éxito del curso de estadística por lo regular requiere de más sentido común que destreza matemática. (“El sentido común no es muy común”. Voltaire).

Ahora con los computadores, las aplicaciones modernas de las estadísticas ya no requieren que dominemos algoritmos complejos de operaciones matemáticas. En su lugar, nos enfrentamos a la interpretación de datos y los resultados.

Hace cerca de un siglo, el estadista Benjamin Disraeli pronunció la famosa frase: “Hay tres clases de mentiras: mentiras, viles mentiras y estadísticas”. También ha dicho: “las cifras no mienten, los mentirosos calculan las cifras”.

El historiador Andrew Lang dijo que algunas personas utilizan la estadística “como un borracho utiliza los postes del alumbrado público: como apoyo, más que como iluminación”.

El caricaturista Don Wright dice: “retome el misterio de la vida: mienta a un encuestador”.

El autor Franklin P. Jones, escribió que: “la estadística puede usarse para sustentar cualquier cosa, en especial a los estadísticos”.

En el Esar Comic Dictionary definen que un estadístico es: “un especialista que reúne pensamientos y los conduce al extravío”.

Hay métodos estadísticos que se utilizan en forma errónea, de manera que resultan engañosos en última instancia:

1. El intento malintencionado por parte de personas deshonestas.

2. Los errores de descuido, cometidos por personas que no conocen nada mejor.

La invitación es asumir un pensamiento crítico, debemos tener una habilidad para distinguir entre conclusiones estadísticas que parecen ser válidas de las que son gravemente defectuosas.

Utilice el pensamiento crítico para desarrollar una conclusión alternativa.

1.  Un estudio demostró que los conductores de camiones «pesan» más que los adultos que no manejan camiones. Conclusión: Los camiones causan que la gente gane peso.

2. Un estudió concluyó que los propietarios de casas tienden a vivir más tiempo que quienes no habitan viviendas propias. Conclusión: Poseer más de una casa crea paz y armonía internas que causan que las personas tengan mejor estado de salud y vivan más tiempo.

3. Un estudio mostró que en el ciudad de B….. Se expidieron más comparendos por infracciones de tránsito,  a los hombres que a las mujeres. Conclusión: En la ciudad de B…. Las personas del sexo masculino infringen en mayor número que las mujeres, las normas de tránsito.

4. Un estudio concluyó que en la ciudad de Barrancabermeja se expidieron más multas por exceso de velocidad a personas que conducían automóviles modelos 2013. Conclusión: En la ciudad de Barrancabermeja, las personas que conducen automóviles modelos 2013, exceden los límites de velocidad permitidos, caso contrario ocurren con los otros modelos.

5. Después del último censo realizado, un periódico tituló: «42.888.592 en Colombia».

6. En un estudio de síntomas del resfriado, se encontró que cada uno de los sujetos de estudio con resfriado mejoró en dos semanas después de tomar miel de abejas. Conclusión: La miel de abejas cura el resfriado.

7. Un periódico afirma que en los paraderos de buses se causan atracos, porque un estudio concluyó que las tasas de robos son más altas en las ciudades con paraderos de bus, que en las zonas rurales que carecen de ellos.


8. María está analizando la posibilidad de la apertura de una tienda de detalles y regalos. Se informa en la Cámara de Comercio sobre cuántos establecimientos de esta clase existen en la ciudad. La información preliminar dice que hay pocos y presentan una rentabilidad del 50%. Le sugieren que si se especializa en pocas líneas la rentabilidad será mayor y por ende tendrá un éxito indiscutible. ¿Cómo debería proceder María para la toma de una decisión correcta?

9. Realizar cualquier actividad deportiva, por lo menos dos veces a la semana ayuda a que tengamos una vida más saludable, da energía, evita la depresión y alarga los años de vida.

1.5 PORCENTAJES

1.6 FRECUENCIAS

Uno de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc. Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los siguientes tipos de frecuencia:


1.6.1 Frecuencia Absoluta
La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, se representará como ni.

1.6.2 Frecuencia Relativa
La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. Se denota con por fi.

1.6.3 Porcentaje de Datos
La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. Se denotar con pi (%).

1.6.4 Frecuencia Absoluta Acumalada
La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de datos que hay en el intervalo más las frecuencias absolutas de los intervalos anteriores y la representaremos por Ni

1.6.5 Frecuencia Relativa Acumalada
Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y se denota Fi.

1.6.6 Porcentaje de Datos Acumulado
Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por Pi como la frecuencia relativa acumulada por 100.


TABLA DE FRECUENCIA DE DATOS NO AGRUPADOS


TABLA DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS


Para el diseño de las tablas de frecuencia de datos agrupados, se requiere conocer el número de intervalos y tamaño de cada intervalo.

NÚMERO DE INTERVALOS o GRUPO (Intervalos de Clase)

Se saca la raíz cuadrada al número total de datos obtenidos. El valor se aproxima al menor entero. (Para datos menores a 100).
Para datos mayores de 100, se sugiere utilizar la fórmula de Sturges:

m = número de intervalos de clase
n = número de elementos de la muestra

TAMAÑO DEL INTERVALO (Anchura del Intervalo)

LIMITE DE UN INTERVALO

El número menor se denomina límite inferior (L1) y el número mayor límite superior (L2).  L1 – L2.
  
AMPLITUD DEL INTERVALO DE CLASE:  ai = L3 – L1

Es la diferencia entre dos límites inferiores consecutivos:

MARCA DE CLASE: xi

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

DENSIDAD DE FRECUENCIA: 

Se llama densidad de frecuencia absoluta de un intervalo, al cociente entre la frecuencia absoluta del intervalo y su amplitud. Se denota por di.

Los datos siguientes corresponden al tiempo necesario para procesar 25 tablas en el computador. 
1,17
1,61
1,16
1,38
3,53
1,23
3,76
1,94
0,96
0,15
2,41
0,71
0,02
1,59
0,19
0,82
0,47
2,16
0,92
0,75
2,59
3,07
1,4
4,75
2,01



Número de Intervalos 

 Tamaño del Intervalo


................................................................................................................

Concentraciones de calcio de 40 análisis de agua:

Número de Intervalos 
Tamaño del Intervalo

..............................................................................................................
La concentración de sólidos suspendidos en agua de un río es una característica ambiental importante. Un artículo científico reportó sobre la concentración (en partes por millón, o ppm) para varios ríos diferentes. Supongamos que se obtuvieron las siguientes 60 observaciones para un río de la ciudad de Barrancabermeja:


55.8
60.9
37.0
91.3
65.8
42.3
33.8
60.6
76.0
69.0
45.9
39.1
35.5
56.0
44.6
71.7
61.2
61.5
47.2
74.5
83.2
40.0
31.7
36.7
62.3
47.3
94.6
56.3
30.0
68.2
75.3
71.4
65.2
52.6
58.2
48.0
61.8
78.8
39.8
65.0
60.7
77.1
59.0
50.5
69.3
70.8
64.9
37.1
87.1
66.3
62.8
60.5
39.9
80.1
62.6
60.2
50.3
38.9
70.0
65.6


Número de Intervalos:  Ö60 = 7,74 @ 7
Tamaño del Intervalo = [(DM – dm) / Número de Intervalos]
                                  = [(94.6 – 30) / 7]
                                     = 9,22 @ 9


xi
ni
fi
%
Ni
Fi
%
30 – 39
34,5
8
0,1333
13,33
8
0,1333
13,33
40 – 49
44,5
10
0,1666
16,66
18
0,3
30
50 – 59
54,5
8
0,1333
13,33
26
0,4333
43,33
60 – 69
64,5
20
0,3333
33,33
46
0,7666
76,66
70 – 79
74,5
9
0,15
15
55
0,9166
91,66
80 – 89
84,5
3
0,05
5
58
0,9666
96,66
90 – 99
94,5
2
0,0333
3,33
60
1
100


60
0,9999
99,999




Tamaño del Intervalo = [(DM – dm) / Número de Intervalos]
                                  = [(94.6 – 30) / 7]

                                     = 9,22 @ 9,2


xi
ni
fi
%
Ni
Fi
%
30,0 – 39,2
34,6
9
0,15
15
9
0,15
15
39,3 – 48,5
43,9
9
0,15
15
18
0,3
30
48,6 – 57,8
53,2
6
0,1
10
24
0,4
40
57,9 – 67,1
62,5
19
0,316
31,6
43
0,716
71,6
67,2 – 76,4
71,8
10
0,166
16,6
53
0,882
88,2
76,5 – 85,7
81,1
4
0,066
6,6
57
0,95
95
85,8 - 95
90,4
3
0,05
5
60
1
100


60
0,9999
99,999




                 ................................................................................................................
TALLER DE TABLAS DE FRECUENCIAS

(1). El número de hermanos de los estudiantes de una clase es el siguiente:

0  1  0  0  3  2  1  4  0  0  1  1  2  0  1
1  2  0  1  1  2  1  3  0  0  2  1  2  3  5

a) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.
b) Realiza un análisis de los datos obtenidos, que tenga relación a:
   ¿Qué porcentaje de estudiantes son hijos únicos?
   ¿Cuántos estudiantes tienen más de un hermano?

(2). En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtuvieron los siguientes datos:

                       10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9
a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes.

(3). Los sueldos, en miles de dólares mensuales de 40 ingenieros de producción en la industrial petrolera del año 2019 son:
 
a). Elabora una tabla de frecuencias
b). Se quiere analizar si realmente son bastante altos estos salarios

(6). Estos son los puntajes obtenidos por los 100 aspirantes que se presentaron para el concurso de las becas internacionales:
 
a). Elabora una tabla de frecuencias

b). Se quiere analizar qué porcentaje logró clasificar, si el puntaje mínimo requerido es de 60 puntos.

....................................................................................................................................
TALLER DE TABLAS DE FRECUENCIAS

(1). Dado el siguiente cuadro estadístico con ancho de clase constante igual a 20. Completar la tabla

(L2 – L1)
ni
Ni
fi
%


10




18




35



13



200)





4
70



(2). Completar los datos que faltan en la siguiente tabla de frecuencia

xi
ni
Ni
fi
1
4

0,08
2
4


3

16
0,16
4
7

0,14
5
5
28

6

38

7
7
45






(3). Completar la siguiente tabla de frecuencia para datos agrupados

Intervalos
Marca de Clase
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Acumulada
Frecuencia Relativa
Frecuencia Relativa Acumulada
[80 – 90)
85


0,150

[90 – 100)

8



[100 – 110)
105

23
0,225
0,575
[110 – 120)




0,825
[120 – 130)
125
7



Total

40

1.0


(4). Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de 80 personas:

60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70; 66; 52; 75; 65; 69; 71; 58; 66; 67; 74; 61; 63; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75; 64; 71; 81; 62; 64; 69; 68; 72; 83; 56; 65; 74; 67; 54; 65; 65; 69; 61; 67; 73; 57; 62; 67; 68; 63; 67; 71; 68; 76; 61; 62; 63; 76; 61; 67; 67; 64; 72; 64; 73; 79; 58; 67; 71; 68; 59; 69; 70; 66; 62; 63; 66;

a). Elabora una tabla de frecuencias

b). Calcular los porcentajes de personas con pesos menores a 65 kg y mayores de 80 kg.

1.7 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 

1.7.1 Diagramas de Barras

Un diagrama de barras se utiliza para presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los nombres de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas, relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.


Consiste en dos ejes perpendiculares y una barra o rectángulo para cada valor de la variable. Normalmente, se suele colocar en el eje horizontal los valores de la variable (aunque también se puede hacer en el vertical). El otro eje se gradúa según los valores de las frecuencias. La representación gráfica consiste en dibujar una barra o un rectángulo para cada uno de los valores de la variable de altura igual a su frecuencia.

(1). Todas las barras deben ser del mismo ancho para no confundir al lector.

(2). Los espacios entre barras deben ser igual a la mitad del ancho de las barras.

(3). Se deben incluir las escalas y algunas indicaciones para que ayuden a la lectura de las gráficas.

(4). Los ejes de las gráficas se deben identificar en forma clara.

(5). Se deben incluir dentro del cuerpo de la gráfica, o debajo, todo tipo de "claves" para la interpretación de las gráficas.

Ejemplo: Un estudio hecho al conjunto de los 20 estudiantes de un salón de clases para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:
1.7.2 Polígonos de Frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se pueden realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Para construir un polígono de frecuencia cuando se tienen datos agrupados, se toma la marca de clase, que coincide con el punto medio de cada rectángulo.
1.7.3 Histogramas

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

Es un caso particular de variables continuas, si los intervalos son correlativos, los rectángulos aparecen pegados en la representación gráfica. En caso de que la amplitud de los intervalos no se igual para todos, hay que hacer coincidir el área del rectángulo con la frecuencia del intervalo. Un ejemplo muy utilizado de histograma es una pirámide de población.

Se obtiene “el peso” a 65 estudiantes a través de la siguiente tabla:
En las variables cuantitativas o en las cualitativas ordinales se pueden representar polígonos de frecuencia en lugar de histogramas, cuando se representa la frecuencia acumulativa, se denomina ojiva.

DISTRIBUCIONES SIMÉTRICAS Y ASIMÉTRICAS: Una distribución es simétrica si los lados derecho e izquierdo del histograma son aproximadamente imágenes especulares el uno del otro. Una distribución es asimétrica hacia la derecha si el lado derecho del histograma (que contiene la mitad de las observaciones mayores) se extiende mucho más lejos que el lado izquierdo. Una distribución es asimétrica hacia la izquierda si el lado izquierdo del histograma se extiende mucho más allá que el lado derecho.

1.7.4 Diagramas de Sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador.
Ejemplo: Un curso está conformado por 30 estudiantes. De los cuales 14 juegan futbol, 8 practican voleibol, 6 juegan basquetbol y los demás no practican ningún deporte.

1.7.5 Pictogramas

Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia se suele representar.


En el siguiente ejemplo hemos representado el número de partidos ganados, perdidos o empatados de un equipo.
1.7.6 Cartogramas

Son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen indicados sobre las distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el carácter que representan.

Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información. Permiten condensar, en un único valor los resultados obtenidos para la totalidad de la muestra y en relación con cada una de las variables consideradas. Ese valor pretende reproducir el comportamiento mayoritario de la muestra.

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.


Entre las medidas de tendencia central se tienen:

2.1 MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido en la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Se le llama también promedio o, simplemente, media.
Estas son las cinco (5) notas que un estudiante obtuvo en determinada asignatura: 3.5; 3.1; 2,7; 3,8; 2,1. Calcular la media de estos datos.
2.1.1 Media Aritmética para datos agrupados

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

Cálculo de la media para datos agrupados, utilizando las frecuencias relativas:

2.1.2 Otros tipos de Medias

2.1.2.1 Media Aritmética Ponderada

La media ponderada permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total.

Se denomina media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado peso, y obteniendo a continuación, la media aritmética del conjunto formado por los productos anteriores.

Nota: se utiliza la media ponderada cuando no todos los elementos componentes de los que se pretende obtener la media tienen la misma importancia.
  
Un estudiante obtuvo 40, 50, 60, 80 y 45 puntos en las asignaturas de Matemáticas, Estadística, Física, Química y Biología respectivamente, suponiendo que los pesos de cada una son: 5, 2, 4, 3 y 1.



Las notas de la Universidad donde el primer corte vale 30% de la nota final, otro el 35% y el último 35%. Las notas obtenidas por un estudiante en la asignatura de estadística fueron: 2.2, 3.4 y 3.1.

En una empresa hay 5 trabajadores que ganan $2.000.000; 4 ganan que $2.500.000; 8 que ganan $1.750.000 y 3 que ganan $3.000.000. ¿Cuál es el promedio de salarios de la empresa?

2.1.2.2 Media Aritmética Geométrica

La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma. Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

Se tienen la siguiente serie de números: 15, 20, 25, 30, 35 y 40. Hallar la media aritmética y la media geométrica.

En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en las diferentes áreas. Para ello, se conocen los siguientes datos: Producción: 32,6%; Compras: 53,5%; Marketing: 28,9%, Recursos Humanos: 48,2% y Administración 67,4%.
2.1.2.3 Media Armónica

Se utiliza cuando se desea promediar velocidades, cuando el tiempo se mantiene constante y las distancias varían o también son constantes.


Si la velocidad de A a B es de en 60 km/h y de B a A es 30 km/h, ¿Cuál es su velocidad promedio?
Suponga que un auto cubre los primeros 100 km a una velocidad de 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, la velocidad media realizada.

2.1.2.4 Media Cuadrática

Se usa en aplicaciones de la física y en la determinación de las características de dispersión.


TALLER DEL CÁLCULO DE DIVERSAS MEDIAS

(1). En la tabla se muestran la resistencia de 70 baldosas. Hallar la media de este grupo de datos agrupados:

Resistencia
(Kg/cm2)
ni

[100 a 200)
6

[200 a 300)
8

[300 a 400)
21

[400 a 500)
33


(2). La tabla muestra los años de experiencia de  50 operarios de una fábrica de confecciones.  Calcular la media aritmética.

4
6
5
6
4
5
5
6
5
6
5
5
8
8
8
9
6
7
7
6
7
9
3
2
7
5
7
7
3
4
6
7
7
7
8
6
6
7
6
3
4
6
8
5
6
7
5
5
4
6

(3). Las calificaciones de un estudiante están conformadas por los siguientes factores: Un examen cuyo valor es 40% en el cual obtuvo una nota de 4.5; un trabajo de consulta con ponderación del 10% y calificación de 1.0; una exposición equivalente al 15% con nota de 2.0; y por último una investigación con valor del 35% calificada con 3.5. Calcular la nota definitiva del primer corte.

(4). Durante 4 meses consecutivos una persona compra combustible para su automóvil a los precios de $8.500, $8.700, $8,950 y $9.000 por un galón. Se compra 20 galones cada mes.

¿Cuál fue el promedio del costo del combustible para el período de 4 meses?
¿Calcular la media geométrica para el costo del combustible?
¿Hallar la media armónica para el costo del combustible?

2.2 MEDIANA

La mediana es un valor de la variable que está en la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor. 
En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales.
  • Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos. 
  • Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2). 
Para calcular únicamente la posición (medidas de posición) de estos parámetros dentro de la distribución:  
2.2.1 Mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir, se tiene que buscar el intervalo en el que se encuentre:

Li        es el límite inferior de la clase donde se encuentra la clase mediana.

N/2      es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Ni-1     es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai        es la amplitud de la clase.

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

.........................................................................................

..............................................................................................
2.3 MODA

La moda es el dato más repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta

Unimodal: 5,7,4,6,9,5,6,1,5,3,7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.

Bimodal de los datos, cuando se encuentran dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima.

Multimodal: cuando en una distribución de datos se encuentran tres o más modas.

Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia, entonces no hay moda.

Para el cálculo de la Moda, no es necesario ordenar los datos.

103, 101, 99, 101, 87, 95, 99, 101

Mo =  101

2.3.1 Mediana para datos agrupados


Clase Modal Intervalo de clase que tiene la mayor frecuencia
    Li        Límite inferior de la clase modal
    D1       Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior
    D2       Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente

    ai        Amplitud de la clase modal

La siguiente tabla representa el tiempo en segundos en que se utilizan los cajeros de un centro comercial de la ciudad durante el mes anterior.

TALLER DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL


Observaciones de las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA:
Su resultado es sensible ante la presencia de valores extremos (bajos o altos). Su aplicación es aconsejable cuando los datos son bastante homogéneos.

MEDIANA:
Presenta el inconveniente de que en su cálculo no intervienen todas las observaciones sino únicamente las observaciones centrales. Es aconsejable su utilización cuando los datos son irregulares.

MODA:
Su aplicación es apropiada cuando algún valor absorbe la mayor parte de las frecuencias, esto es, la mayoría de las observaciones son iguales entre sí. Un inconveniente es que existan varios valores modales.

MEDIA GEOMÉTRICA:
Es apropiada cuando la variable tiene un carácter acumulativo. Carece de sentido si hay algún valor nulo o si se presentan simultáneamente valores positivos y negativos.

MEDIA ARMÓNICA:
Su interpretación no es tan clara. Aunque utiliza todos los datos, presenta inconveniente de que es muy sensible ante la presencia de valores bajos.


.............................................................................................................
VIDEO: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA Y MODA
Autor: Alvaro Acosta Agón
YouTube: https://youtu.be/05nA1KVXRXs

............................................................................................................


Las medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.

Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor.

Las medidas de posición son:

Cuartiles: Los cuartiles dividen la serie de datos en cuatro partes iguales: Q1, Q2 y Q3.

Deciles: Los deciles dividen la serie de datos en diez partes iguales: D1, D2, D3, … D9.

Percentiles: Los percentiles dividen la serie de datos en cien partes iguales: P1, P2, P3, … P99.

3.1 CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25% (¼), al 50% (½) y al 75% (¾) de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los Cuartiles

1. Ordenamos los datos de menor a mayor


2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil


El número de orden del primer cuartil (Q1) es igual al número de términos de la distribución más uno, sobre cuatro.

Para el segundo cuartil (Q2) el número de orden se calculará sumando uno al total de términos y dividiéndolo entre dos.

Asimismo, el número de orden del tercer cuartil (Q3) ser igual a tres cuartos del número de términos de la distribución más uno.

3, 4, 5, 7, 8, 10, 11


3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 14

2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 20


Nota: Una vez obtenido el número de orden del primer cuartil, se puede calcular inmediatamente los del segundo y tercer cuartil sin recurrir al procedimiento arriba sugerido, multiplicándolo por dos y tres respectivamente.

Se registran las siguientes variaciones de temperaturas a presión atmosférica: 41°, 50°, 29°, 33°, 40°, 42°, 53°, 35°, 28°, 39°, 37°, 43°, 34°, 31°, 44°, 57°, 32°, 45°, 46°, 48°.

28°, 29°, 31°, 32°, 33°, 34°, 35°, 37°, 39°, 40°, 41°, 42°, 43°, 44°, 45°, 46°, 48°, 50°, 53°, 57°

N°Q1 = (N+1)/4 = (20+1)/4 = 5,25                                   Q1 = 33°
N°Q1 = k (N/4)  = 1(20/4)  = 1(5) = 5                                Q1 = 33°
La posición 5, corresponde al dato Q1 = 33

N°Q2 = (N+1)/2 = (20+1)/2 = 10,5                                   Q2 = 40°
N°Q2 = k (N/4) = 2(20/4)  = 2(5) = 10                               Q2 = 40°
La posición 10, corresponde al dato Q2 = 40

N°Q3 = 3(N+1)/4 = 3(20+1)/4 = 15,75                            Q3 = 45°
N°Q3 = k (N/4) = 3(20/4)  = 3(5) = 15                              Q3 = 45°

La posición 15, corresponde al dato Q3 = 45

Nota: Como los cuartiles representan un posición: 25%, 50% y 75%, cuando el número de  esta posición del cuartil da un resultado decimal, entonces se aproxima a la posición entera. 

3.1.1 Cuartiles para datos agrupados

Li         límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil
N         la suma de las frecuencias absolutas
Ni-1      la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil
ai         la amplitud de la clase
ni         frecuencia absoluta

En primer lugar, se busca la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas (Ni).

La tabla muestra los puntajes en las Pruebas Saber, de 60 estudiantes:

TALLER DE CUARTILES

(1). Encontrar los cuartiles (Q1, Q2 y Q3) de una muestra de 15 mediciones de sólidos suspendidos, en unidades de mg/L, de una muestra de agua residual.


1, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 17, 19, 19, 21, 27, 29, 30

(2). Halar los cuartiles Q1, Q2 y Q3, de acuerdo a los siguientes datos:


10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

3). Calcular los cuartiles Q1, Q2 y Q3 para datos agrupados, de acuerdo a las siguientes tablas:
  
Intervalos
xi
ni
Ni
[10, 15)
12,5
4
4
[15, 20)
17,5
3
7
[20, 25)
22,5
7
14
[25, 30)
27,5
8
22
[30, 35)
32,5
4
26


26


Intervalos
ni
Ni
[50, 60)
8

[60, 70)
10

[70, 80)
16

[80, 90)
14

[90, 100)
9

[100, 110)
2

[110, 120)
1





(4). Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción de una muestra de 33 sujetos, medidos en centésimas de segundo:
55, 51, 60, 56, 64, 56, 63, 63, 61, 57, 62, 50, 49, 70, 72, 54, 48, 53, 58, 66, 68, 45, 74, 65, 58, 61, 62, 59, 64, 57, 63, 52, 67.

Calcule el primer, segundo y el tercer cuartil, a partir de una tabla de datos agrupados.

........................................................................................................................................................

3.2 DECILES

Los deciles o decillas dividen la información en diez partes iguales, en cantidades porcentuales de 10 en 10.
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%


El quinto decil corresponde a la mediana.

El quinto decil corresponde a la mediana.

Para calcular la posición en la que se encuentra cada uno de los deciles Dx, se utiliza la siguiente fórmula:



Se tienen los siguientes resultados:

28
31
28
30
28
27
30
32
35
26
25
29
26
28
25
31
31
32
27
30
31
31
25
28

Calcular los deciles D1, D2 y D7

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
25
25
26
26
27
28
28
28
28
28
29
30
30
30
30
31
31
31
31
31
32
32
35

Decil 1:
 
Como en la posición 2,4 no coincide con un dato y está dentro de dos valores iguales a 25, entonces no hay necesidad de interpolar, por lo tanto:   D1 = 25

Decil 2:






Como en la posición 4,8 no coincide con un dato y está dentro de dos valores iguales a 26, entonces no hay necesidad de interpolar, por lo tanto:   D2 = 26

Decil 7:






Como en la posición 16,8 no coincide con un dato y está dentro de dos valores: 30 y 31, entonces hay necesidad de interpolar, usando proporcionalidad. Pero teniendo en cuenta que es una posición tomamos que en la posición 17, está el dato 31.

16
16,8
17
30
?
31


3.2.1 Deciles para datos agrupados




Hallar el D7 para la siguiente tabla de frecuencias
3.3 PERCENTILES

La fórmula más utilizada para calcular la posición del percentil es: P (n + 1).

Los percentiles (centiles) dividen la información en cien partes iguales, lo cual facilita la interpretación porcentual de una distribución de frecuencias.

El percentil 50 corresponde a la mediana.

P es el percentil cuya posición se quiere calcular dividido entre 100
n es el número de casos
3, 4, 7, 8, 9
Calcular P25 (C1)

P (n + 1)        0,25 (6) = 1,5
1,5 es la posición, que indica que el punto medio entre el primer y segundo dato.
P25 = 3,5

Calcular P50 (C2) (Mediana)

P (n + 1)        0,5 (6) = 3
3 es la posición del dato.
P50 = 7

Calcular P75 (C3)

P (n + 1)        0,75 (6) = 4,5
4,5 es la posición, que indica que el punto medio entre el cuarto y quinto dato.

P75 = 8,5

3.3.1 Percentiles para datos agrupados

El intervalo en el que se encuentra el percentil K se denomina intervalo crítico.

Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

Hallar los percentiles 15 y 70

Intervalos
xi
ni
Ni
[10, 15)
12.5
4
4
[15, 20)
17.5
5
9
[20, 25)
22.5
7
16
[25, 30)
27.5
5
21
[30, 35)
32.5
4
25

25


Calcular el percentil 10 de acuerdo a la tabla siguiente:
Intervalos
xi
ni
Ni
1 – 3
2
2
2
4 – 6
5
5
7
7 – 9
8
6
13
10 – 12
11
7
20
13 – 15
14
9
29
16 – 18
17
10
39
19 – 21
20
11
50


50



Con los datos de la tabla anterior, si se tiene una puntuación de X = 11, ¿qué percentil le corresponde?

Cuando se calcula el percentil que corresponde a una puntuación determinad, el resultado puede dar decimal, entonces se toma la cantidad entera más próxima, ya que los percentiles son 99 valores enteros.

Nota: En los diversos ejercicios resueltos en los apartados anteriores se han utilizado fórmulas para datos ordenados y tabulados, siguiendo reglas para el número de intervalos y tamaño del mismo. Pero, cuanto se tienen datos numerosos no hay unanimidad para su cálculo entre los diferentes autores, por eso el valor de un determinado percentil de un conjunto de datos puede ser diferente al utilizar distintos programas informáticos.

RELACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN



TALLER DE DECILES Y PERCENTILES

Calcular los deciles 2 y 8 de la distribución de la tabla:

Intervalos
ni
Ni
[50, 60)
8

[60, 70)
10

[70, 80)
16

[80, 90)
14

[90, 100)
9

[100, 110)
2

[110, 120)
1





Calcular los deciles 3 y 6 de la distribución de la tabla:

Intervalos
xi
ni
Ni
[10, 15)
12,5
3

[15, 20)
17,5
5

[20, 25)
22,5
7

[25, 30)
27,5
4

[30, 35)
32,5
2



21


En la siguiente tabla, que no fue diseñada de acuerdo a la Ley de Sturges, se presentan las respuestas a una prueba de 80 preguntas aplicadas a 500 personas. Hallar los percentiles:

Intervalos
ni
[0, 10)
21
[10, 20)
28
[20, 30)
81
[30, 40)
87
[40, 50)
112
[50, 60)
78
[60, 70)
54
[70, 80)
39
Total
500

Calcular los percentiles 30 y 90
Qué percentil le correspondería al que tenga 65 respuestas correctas.

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VIDEO: MEDIDAS DE POSICIÓN: CUARTILES, DECILES y PERCENTILES
Autor: Alvaro Acosta Agón
YouTube: https://youtu.be/JVGmZHwE1rs

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En el análisis estadístico no basta el cálculo e interpretación de tendencia central o de posición, ya que, cuando se representa toda una información con la media aritmética, puede estar distante a la realidad, pues suelen existir datos extremos inferiores y superiores a la media aritmética, los cuales, no están siendo bien representados por este parámetro.

Las medidas de dispersión resumen la heterogeneidad de los valores de la variable. En algunos casos, indican qué tan alejados están los valores respecto de un punto de referencia o de un eje.

Para medir el grado de dispersión de una variable, se utilizan principalmente los siguientes indicadores:

4.1 RANGO o RECORRIDO

Es la diferencia de la variable entre sus valores máximo y mínimo de los datos de una distribución estadística.

4.4.1 Rango o Recorrido Intercuartílico (RQ)

Es la diferencia entre los cuartiles mayor y menor.

Con esta medida se excluyen los valores más altos y bajos, pues elimina el 25% de los valores más altos y el 25% de los valores más bajos de la distribución.

4.4.2 Rango o Recorrido Intercuartílico Medio [(RQ)/2]

Es el valor medio de la diferencia entre el mayor y menor cuartil.

4.2 DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media, mide la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos, y el parámetro que caracteriza la información. Usualmente se considera la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.


Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18


4.2.1 Desviación Media para datos agrupados



Calcular la desviación media de la distribución:


Calcular la desviación media de la distribución:
4.3 VARIANZA


Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18




4.3.1 Varianza para datos agrupados

El problema de los signos en la desviación media, es eludido elevando las diferencias al cuadrado. La varianza es uno de los parámetros más importantes, pues teniendo conocimiento de la varianza de una población, se ha avanzado en el conocimiento de la población misma.

La variancia sesgada o varianza poblacional, refleja a la perfección el significado de una medida de dispersión como un promedio de los cuadrados de las desviaciones y tiene una gran aplicación en el estudio de las probabilidades.

Se define la varianza, como desviación cuadrática media de los datos con respecto a la media aritmética. 

Las fórmulas de la varianza poblacional y la varianza de la muestra son ligeramente diferentes

La variancia insesgada, varianza muestral o cuasivarianza, es más propicia en los cálculos estadísticos y se usa en las muestras.

Cuando el tamaño de la muestra es grande, (n – 1) será aproximadamente igual a n, por lo que este denominador tiene un impacto real en el cálculo de la varianza para muestras pequeñas. 


Calcular la varianza de acuerdo con la tabla de datos agrupados


Otras fórmulas equivalentes para calcular la varianza en datos agrupados:




xi
ni
xi · ni
xi2 · ni
[10, 20)
15
1
15
225
[20, 30)
25
8
200
5000
[30,40)
35
10
350
12 250
[40, 50)
45
9
405
18 225
[50, 60
55
8
440
24 200
[60,70)
65
7
455
29 575
[70, 80)
75
6
450
33 750


49
2315
123 225












Propiedades de la Varianza (s2)

La varianza será siempre un valor positivo, o cero en el caso que las puntuaciones sean iguales.

La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.


La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

4.4 DESVIACIÓN TÍPICA

Para una mejor comprensión se debe recurrir a la desviación típica o estándar, definida como la raíz cuadrada de la varianza.

En una muestra aleatoria normal se tomaron los siguientes resultados: 41.9, 45.2, 45.8, 45.8, 45.9, 46.0, 46.1, 46.1, 46.4, 47.0. Calcular la desviación típica.






4.5 COEFICIENTE DE VARIABILIDAD

Generalmente interesa establecer comparaciones de la dispersión, entre diferentes muestras que posean distintas magnitudes o unidades de medida.

El coeficiente de variabilidad tiene en cuenta el valor de la media aritmética, para establecer un número relativo, que hace comparable el grado de dispersión entre dos o más variables.

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medidas sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.

La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Una distribución tiene x = 140 y s = 28,28 y otra x = 150 y s = 25. ¿Cuál de las dos distribuciones presenta mayor dispersión?.

                                                                        :::::::::::::::::
En una distribución discreta se tiene los siguientes valores: –10, 3, x, 10, 1, 0. Si la desviación típica es igual al coeficiente de variación, calcular el valor desconocido de x.

CV = S

:::::::::::::::::
Calcular el coeficiente de variabilidad en la siguiente distribución
  
xi
ni
x ni
(xi)2  ni
2
2
4
8
3
5
15
45
4
7
28
112
5
2
10
50
Total 
16
57
215

::::::::::::::::



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VIDEO: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Autor: Alvaro Acosta Agón
YouTube: https://youtu.be/G592FbUsMeY

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EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS 
MEDIDAS DE DISPERSIÓN










5.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Supongamos que se está en la ciudad A y para trasladarse a la ciudad B tiene dos caminos. Una vez que está en B puede viajar a C por tres vías diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes puede viajar de A a C?


Se puede trasladar desde A a C de (2)(3) = 6 maneras diferentes, es decir, n1 n2 = 6

En lo que respecta a técnicas de conteo, se tienen dos principios fundamentales:

·         El Principio de Adición
·         El Principio de Multiplicación

5.1 Principio de Adición (o)

Un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras. Es decir, ocurre de una forma u otra, más no de ambas formas a la vez (no suceden en simultáneo).

Número de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n + m

María puede ir desde su casa a la universidad tomando un solo transporte. Si por su casa pasan tres líneas de busetas que la llevan a la universidad, ¿de cuántas maneras diferentes, según la buseta que tome, llegará María a la universidad?. Se sabe que la línea A tiene tres busetas, la línea B tiene 5 busetas y la línea C tiene 8 busetas.

5.1 Principio de Multiplicación (y)

Un evento o suceso “A” ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento “B” que ocurre de m maneras distintas. Es decir, ocurre uno a continuación de otro, originando un suceso compuesto.

Número de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n x m

Los estudiantes de una institución educativa se comprometen a pintarlo. El primer piso lo harían estudiantes de un aula del noveno, el segundo piso lo haría estudiantes de un aula de décimo, el tercer piso lo harían estudiantes de un aula de undécimo. Si la institución tiene 4 aulas para noveno, 5 para décimo y 6 para undécimo. ¿De cuántas maneras distintas, según las aulas que intervienen, puede hacerse el pintado del colegio?.

EJEMPLO 1: ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden obtener con los siguientes números: 1,3,5,6,8

a). Si se puede repetir cualquier de los dos dígitos
11, 13, 15, 16, 18
31, 33, 35, 36, 38
51, 53, 55, 56, 58
61, 63, 65, 66, 68
81, 83, 85, 86, 88

Este método es tedioso y extenso, entonces como son dos números de dos dígitos, se pueden considerar dos eventos n1 n2, así:
                 
n1 = 5 y n2 = 5, porque ambos eventos se pueden realizar de 5 maneras diferentes. Luego n1  x  n2 = (5) (5) = 25 números que se pueden formar.

b). Si no se permite repetir ninguno de los dos dígitos
13, 15, 16, 18
31, 35, 36, 38
51, 53, 56, 58
61, 63, 65, 68
81, 83, 85, 86

Para la primera casilla se dispone de todos los cinco dígitos (n1 = 5). Para la segunda casilla sólo quedan cuatro alternativas o cuatro números ya que no permite repetir uno de los dígitos, por esto n2 = 4. De modo que (5) x (4) = 20 números que se pueden formar.


EJEMPLO 2: ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar que sean pares, si se pueden repetir con los siguientes números: 1,3,5,6,8

16, 18
36, 38
56, 58
66, 68
86, 88

Los únicos pares, de los cinco dígitos anteriores, son el 6 y el 8, por lo que n2 = 2.

n1 = 5, porque se dispone de todos los cinco dígitos (se permiten números repetidos)

Así que: n1  x  n2 = (5) x (2) = 10 números pares

¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar que sean pares, si no se pueden repetir?

16, 18
36, 38
56, 58
      68,
86,

Los únicos pares, de los cinco dígitos anteriores, son el 6 y el 8, por lo que n2 = 2.

n1 = 4, porque al no aceptarse repeticiones, el número que se utilice en la casilla de la derecha no podrá repetirse

Así que: n1 x n2 = (4) (2) = 8 números pares


EJEMPLO 3: El Instituto Nacional de Transporte y Tránsito le pide que resuelva la siguiente situación: Se desean imprimir licencias (permisos) de conducción clasificada en seis categorías:

01 motocicletas con motor de 100cc
02 motocicletas con motor de más de 100cc
03 automóviles, camperos, camionetas y microbuses de servicio particular
04 automóviles, camperos, camionetas y microbuses de servicio público
05 camiones rígidos, busetas y buses
06 vehículos articulados

Se desea también, que cada categoría conste de siete dígitos. ¿Cuántas licencias informaría que se deben imprimir por cada categoría? ¿Cuánto sería el número total?

Con el principio fundamental del conteo se puede resolver la situación. Para simplificar el problema, se puede calcular, primero el número de licencias que se deben imprimir para cada categoría y, después, multiplicar por seis para obtener el número total de licencias.

Número de licencias para cada categoría: Supongamos la categoría 01, consta de 7 dígitos.


El número 10 que aparece dentro de cada casilla significa que tiene 10 maneras diferentes para realizar cada evento (del 0 al 9). Como son 7 eventos, el número de licencias a imprimir, para cada categoría, será: 107

Total de licencias: 6 x 107 = 60 millones


EJEMPLO 4: De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar tres personas en una fila de tres sillas?

Suponga que las personas A, B y C y las sillas 1, 2 y 3.  Hay 6 maneras diferentes.


Para la primera casilla tiene tres personas, es decir tres alternativas. Como en la primera casilla ya acomodó a una persona, de las tres, en la segunda casilla sólo tiene dos alternativas. En la tercera casilla sólo tendrá una persona o una opción.


EJEMPLO 5: ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Vicepresidente, Secretario, Tesorero, y Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
 
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6.375.600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, vicepresidente, secretario, etc.


EJEMPLO 6: ¿Cuántos números de cinco cifras no tienen cincos ni treses?

Se llenan cinco espacios _ _ _ _ _. En el primer espacio, de los diez dígitos, no se usa el 3 ni el 5, pero tampoco usar un cero, pues el número tendría menos de cinco cifras. Entonces se tienen 7 opciones para el primer espacio. En las restantes 4 posiciones se puede colocar cualquier digito excepto el 3 y el 5, es decir 8 opciones en cada caso. El principio de la multiplicación da un total de 7 × 84 = 28.672 números.


EJEMPLO 7: Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?

Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.

Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición se tiene un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces se tienen dos opciones (2, 6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2, 6, 0). El total es 2 × 33 = 54.

Cuando todos son impares, como no se puede poner cincos ni sietes, entonces se tienen 3 opciones para cada espacio: 1, 3, 9. En total hay 34 = 81 números de esta forma.

Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es 54 + 81 = 135.


EJEMPLO 8: ¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos?

Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _. En el primero, se tienen 9 opciones, porque no se pueden poner el cero. En la segunda posición también se tienen 9 opciones, porque, aunque ya no se puede usar el número escogido antes, ahora si se puede usar el cero. Para la tercera posición se tienen 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usados dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la última 5. En total hay 9×9×8×7×6×5= 136.080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.


EJEMPLO 9: De Bucaramanga a Bogotá hay 5 aerolíneas diferentes, ¿de cuántas maneras se puede viajar de Bucaramanga a Bogotá y regresar en una aerolínea diferente?
5 x 4 = 20


EJEMPLO 10: How many positive 6 digits integers are there?
            9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900


Nota: Aunque los principios básicos de conteo pueden usarse en la gran mayoría de los casos, usualmente hay fórmulas (basadas en esos principios) que permiten hacer los cálculos de manera más rápida. Otro método práctico es el diagrama de árbol.

En una heladería se sirven los helados en dos presentaciones: cono o vaso. Y los sabores que se pueden escoger son: chocolate, vainilla y fresa.


5.2 FACTORIAL 

Este símbolo representa el producto de los números enteros positivos desde n hasta 1, disminuyendo la unidad al entero precedente.

n! = n (n – 1) (n – 2) …
5! = 5.4.3.2.1 = 120



EJEMPLO 11: Cinco estudiantes han sido elegidos en su curso para formar el gobierno escolar y deciden sortear entre ellos los cargos de: presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. Pueden efectuar el sortear mediante papeles colocados en una caja con los nombres de los cargos, para que cada un saque un papel.

¿De cuántas maneras puede quedar constituido el gobierno escolar?

   Cargo             Posibilidad                                  
Presidente                5 aspirantes
Vicepresidente         4 aspirantes
Secretario                 3 aspirantes
Tesorero                   2 aspitantes
Vocal                        1 aspirante

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120




En muchas ocasiones se desea conocer el número de grupos diferentes que se forman con los datos, sin especificar cada uno de los elementos.

Si interesa el orden en la elección de los elementos
No interesa el orden en que son elegidos los elementos
Si se devuelven o no los elementos elegidos

“Si me interesa el orden”, significa que si variamos la posición de los elementos obtendremos grupos diferentes o, también, si cambiamos el orden de selección, los grupos ya no serán iguales. Se pueden formar dos palabras con las letras “a” y “b”, ya que la palabra ab es diferente a la palabra ba.

“No interesa el orden”, significa que, si dos grupos tienen los mismos elementos, en diferente posición, debemos contarlos como uno solo, es decir, que los dos grupos los consideramos iguales. Cuántas palabras de dos letras puedo formar con las letras “a” y “b”. Solo se puede formar una palabra, ya que ab = ba.



Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Se puede repetir, el orden importa) 

Ejemplo 1: en la cerradura hay 10 números para elegir (0, 1,..., 9) y eliges tres de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Ejemplo 2: Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los 10 dígitos del 0  al 9?
     nr = 102 = 100

Como n = 10 y x = 2,   podemos formar 102 = 100 números de dos cifras

El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite n1 veces; el segundo, n2…; el último, nk veces, se representa:


Ejemplo 3: Con las letras de la palabra TELÉFONO, ¿Cuántas ordenaciones diferentes se pueden formar?

Ejemplo 4: María ha invitado a cinco amigas a su casa. Les ofrece algo para beber, pero en su nevera solo le quedan dos jugos de naranja, tres gaseosas y un yogur. ¿De cuántas formas pueden repartirse las bebidas entre María y sus cinco amigas?


Ejemplo 5: Las placas para los autos en un país, consta de tres letras iniciales más cuatro dígitos: la tercera letra debe ser exclusivamente la b. Calcular el total de placas que pueden asignarse en esta ciudad.                                            

1 letra   2 letra   3 letra   4 dígito    5 dígito    6 dígito      7 dígito

  (26)     (26)        (1)        (10)           (10)          (10)            (10)

(26)*(26)*(1)*(10)4 = 6.760.000



Dados n elementos distintos, el número de secuencias ordenadas de éstos es: 
Pn = n (n – 1) (n – 2) …
 Este número también se denota como n!

Ejemplo 6: ¿Ordenar 16 bolas de billar?
  Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
16! = 20,922,789,888,000
n es el número de cosas que puedes elegir,
r  las que eliges de ellas

(Nota: no se puede repetir, el orden importa)
Ejemplo 6: Elegir 3 bolas de billar de entre 16.
16 × 15 × 14 = 3360 (principio multiplicativo) 

Ejemplo 8: Elegir 3 bolas de billar de entre 16.
n = 16   r = 3

Ejemplo 9: Si no se permiten números repetidos, en la formación de cada uno de ellos, ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los siguientes números: 3, 7, 1, 4, 8 y 2?
  n = 6   r = 3

Ejemplo 10: Si cinco corredores compiten en la carrera final de los 100 metros, ¿de cuántos modos pueden ganarse tres premios?   n = 5    r = 3

Ejemplo 11: ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.
25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600
    (principio multiplicativo)



Ejemplo 12: ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestra institución, si hay 14 participantes?
14x13x12x11 = 24,024 (principio multiplicativo)

PERMUTACIÓN CIRCULAR
Para acomodar n personas en un espacio circular de “n” puestos, se utiliza (n – 1)!

Ejemplo 13: ¿De cuántas maneras se pueden ubicar cuatro personas en una mesa circular de 4 asientos?
 Pc (4) = (4 – 1)! = 6 maneras diferente

Ejemplo 14: ¿De cuántas maneras se pueden ubicar nueve personas?

a). En una fila de nueve puestos:

9! = 362.880

b) En una mesa circular de 9 asientos:

 (n – 1)! = (8!) = 40.320

c) En una mesa circular de 9 asientos, donde una persona puede sentarse en cualquier silla:

(1) * (8!) = 40.320







Ejemplo 15: Una empresa está buscando a tres personas para ocupar tres puestos de igual categoría. Se postulan seis candidatos. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden formar con los candidatos?

Ejemplo 16: En un restaurante sirvieron una porción de papas con tres salsas diferentes a elegir entre diez posibles. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer la elección de las salsas?

Ejemplo 17: Elegir 3 bolas de billar de entre 16. (Sin orden)


Ejemplo 18: Elegir 3 bolas de billar de entre 16, da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Ejemplo 19: Se desea formar algunos comités de profesores para la representación de docentes ante el consejo directivo. Para la elección de los comités se tienen 7 candidatos: cuatro de matemáticas y tres de física. Un comité consta de tres personas.  ¿Cuántos comités se pueden formar?

Ejemplo 20: Para decidir los ganadores de un concurso de matemáticas, un profesor debe elegir de jurado a tres de sus 22 estudiantes. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar su elección?




Ejemplo 21: Se tienen cinco sabores de helados: chocolate, vainilla, fresa, limón y banana. Puedes tomar tres de ellos. ¿Cuántas combinaciones puedes hacer?


Ejemplo 22: Un pintor que dispone en su paleta de cinco colores: azul, rojo, verde, blanco y negro; empieza a realizar mezclas de tres colores, iguales o distintos. ¿Cuántas combinaciones diferentes puede realizar de esta manera?




ESPACIO MUESTRAL (U): Es el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. Es todo lo que puede ocurrir al realizar un experimento. 

EVENTO (E) o Punto Muestral: Es un subconjunto del espacio muestral. 

La probabilidad de que ocurra un evento se mide por un número entre cero y uno, inclusive. Si un evento nunca ocurre, su probabilidad asociada es cero, mientras que si ocurriese siempre su probabilidad sería igual a uno. 

La probabilidad es la relación entre el número de resultados de éxito respecto al total de resultados posibles, puede ser objetiva o subjetiva.

Enfoque clásico:

En una caja hay 50 manzanas rojas y 200 manzanas verdes, cuál es la probabilidad que al tomar una fruta ésta sea manzana roja.


Enfoque de frecuencia relativa:

En una caja que contiene manzanas rojas y verdes, se han tomado 80 frutas y de éstas 15 han sido manzanas rojas, cuál es la probabilidad que al tomar una fruta ésta sea manzana roja.


p: (probabilidad de éxito) es la probabilidad que ocurra un evento 

q: (probabilidad de fracaso) es la probabilidad de que no ocurra un evento:  q = 1 – p   


EVENTOS: 

MUTUAMENTE EXCLUYENTES o DISJUNTOS: Aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente (al mismo tiempo). Ej: que un billete sea de $5.000 y de $10.000. 

NO EXCLUYENTES ENTRE SÍ o COMPATIBLES: Cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que suceda también otro. Ej: que una persona sea profesor y tenga 20 años. 

INDEPENDIENTES: Éstos no se ven afectados por otros. El resultado de uno no afecta al otro. Ej: el tipo de ropa y la probabilidad que llueva durante el día. 

DEPENDIENTES Cuando un evento afecta la probabilidad de que suceda otro. Ej: si un proceso no se realiza con materiales de calidad, es más probable que el resultado resulte mal.


Ejemplo 1: Lanzamiento de monedas:


a)  Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos elementos, cara (c) y sello (s):
U = {c, s}

b) Si se desea que caiga cara en un lanzamiento, entonces el evento tiene una sola posibilidad:

E = {c}

Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado:

a) Se lanza un dado, qué probabilidad existe que el resultado sea impar:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E = {1, 3, 5}



Ejemplo 3: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3, … , 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes), halle la probabilidad de que la carta sea:

a) Una K    


b) Roja


c)  Diamante


Ejemplo 4: Considere el siguiente conjunto de 9 flores: 6 rojas y 3 blancas:


a) Si se escoge una flor al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?




b) Si se escoge una flor aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?




Considere el siguiente conjunto de 9 flores: 6 rojas y 3 blancas:

c) Si se escoge dos flores aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?


¿Cuántos grupos diferentes de dos flores rojas podemos formar con seis flores rojas?


¿Cuántos grupos diferentes de dos flores podemos formar con un total de 9 flores?


Considere el siguiente conjunto de 9 flores: 6 rojas y 3 blancas:

d) Si se escoge cuatro flores, al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que dos sean blancas y dos sean rojas?

Para formar el numerador:
  x1 = se escogen dos flores rojas
  x2 = se escogen dos flores blancas
Para el denominador:
¿Cuántos grupos diferentes de cuatro flores podemos formar con nueve flores?

Ejemplo 5: Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

El espacio muestral es:



Ejemplo 6: Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados.

El espacio muestral es:




Ejemplo 7: Si se seleccionan dos fichas de una bolsa que contiene fichas numeradas del 1 al 10, calcular las probabilidades que:

El espacio muestral es:           
U  =   (1,2), (1,3), (1,4), ……. #U = 45 posibilidades



a)  A = La suma de las dos fichas sea menor que 10

A =    (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5).    #E = 16


Ejemplo 8: ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?

Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de maneras distintas (casos favorables).


Mientras que las 27 bolas totales pueden tomarse de 2 en 2 de maneras distintas (casos posibles).


Ejemplo 9: Una bolsa contiene 6 globos rojos, 4 blancos y 5 azules. Se saca al azar un globo. Hallar las siguientes probabilidades, al ser extraído un globo: 





Ejemplo 10: Cuál es probabilidad de obtener un AS o un REY sacando una sola carta en una baraja española de 40 cartas. Si uno de los casos aparece, queda excluido el otro.

Ejemplo 11: En un cofre se tienen seis monedas de: $1000; tres monedas de $500; y una de $200. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una moneda, ésta sea de $1000?.

Ejemplo 12: En un cofre se tienen seis monedas de: $1000; tres monedas de $500; y una de $200. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una moneda, ésta sea de $1000 o de $500?.



Ejemplo 13: Se lanza un dado, y se gana si el resultado es par o divisible por 3. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = Resultado par: {2, 4, 6}

B = Divisible por tres: {3, 6}


Ejemplo 14: Cuál es probabilidad de que carta extraída sea un AS o COPAS


Ejemplo 15: Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, hallar la probabilidad que uno de los dados sea 2?.

E = Suma sea 6: {(1, 5), (2, 4), (3,3), (4,2), (5,1)}

A = {dado = 2}

AWE = {(2, 4), (4, 2)}






Ejemplo 16: Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cincos?

Ejemplo 17: En un cofre se tienen seis monedas de: $1000; tres monedas de $500; y una de $200. ¿Cuál es la probabilidad que al extraer al azar dos monedas, ambas sean de $1000?.


Ejemplo 18: Si se extrae dos cartas de un paquete de 52 cartas, halle la probabilidad de que ambas cartas sean ases, si la primera carta extraída:



Ejemplo 19: ¿Cuál es probabilidad que un estudiante de la secundaria que juega fútbol compita luego en la liga nacional y llegue a graduarse como profesional?

P(A) = juega fútbol, el 5% de los estudiantes de secundaria

P(B) = juega en la liga profesional, el 1,7%

P(C) = graduado como profesional, el 40%

P(A) = 0,05

P (B l A) = 0,017

P(C l A y B) = 0,4

P (A y B y C) = P (A) * P (B l A) = P(C l A y B)

P (A y B y C) = (0,05) * (0,017) * (0,4) = 0,00034 = 0,034%


Ejemplo 20: Si los eventos A y B son independientes, y P(A) = 0,2 y P(B) = 0,3 hallar lo siguiente:



.....................................................................................................................................

EVALUACIÓN FINAL DE PROBABILIDADES



Ejemplo. De cuántas formar se pueden ordenar en un estante siete libros de: 4 de matemáticas, 2 de Español y 1 de Inglés.



Ejemplo. Con las letras de la palabra CASAS, ¿Cuántas palabras de cinco letras distintas se pueden formar?




Ejemplo. Con las letras de la palabra SALUD, ¿Cuántas palabras de cinco letras distintas se pueden formar?



Ejemplo. Cinco estudiantes se presentaron a un concurso de pintura. El concurso otorga $200.000 al primer lugar, y $150.000 al segundo y $100.000 al tercero. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primero,  segundo y tercer lugar?



Ejemplo. Se va a programar un torneo de microfútbol para 10 equipos. ¿Cuántos partidos se deben programar si cada equipo jugará con todos, sin partidos de revancha?


Ejemplo. ¿Cuántos grupos de dos elementos se pueden formar de un conjunto que contiene cinco elementos?

Ejemplo. Se han convocado a 25 jugadores para un equipo de fútbol. ¿Cuántos maneras diferentes se puede integrar un equipo de 11 jugadores?




Ejemplo. Se disponen de cuatro banderas de colores rojo, amarillo, negro y blanco. ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse si es posible colocar en el asta tres banderas?





Ejemplo: Considere el siguiente conjunto de 10 pelotas: 6 pelotas rojas y 4 pelotas azules:

a) Si se escoge una pelota al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?


b) Si se escoge una pelota aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?


c) Si se escoge dos pelotas aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?





Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cincos?


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